ElainabakaToán 12: Đạo hàm, Tích phân, Xác suấtMath 12: derivatives, integrals, probability
Ba cụm nối nhau: từ giới hạn tới bài toán tối ưu, từ nguyên hàm tới tích phân và thể tích, từ xác suất có điều kiện tới công thức Bayes; kèm các nhánh sang Vật lí, Hóa học và bốn ứng dụng trong AI. Nét đứt là liên môn; mũi tên đi từ điều cần học trước tới điều nó mở ra.Three linked clusters: limits to optimization, antiderivatives to integrals and volumes, conditional probability to Bayes' rule; with branches into Physics, Chemistry and four uses in AI. Dashed lines cross subjects; arrows point from what to learn first to what it unlocks.
Sơ đồMapDanh sách khái niệmAll conceptsỦng hộ tùy tâmSupportNguồn dữ liệuData sources
The concept texts are in Vietnamese.
- Toán24 khái niệm24 concepts
- Vật lísắp có · đã có 5 khái niệmcoming soon · 5 so far
- Hóa họcsắp có · đã có 1 khái niệmcoming soon · 1 so far
- Ngữ vănsắp cócoming soon
ToánVật líHóa họcmũi tên: học trước → mở raarrow: learn first → unlocksliên môncross-subjectứng dụng 20262026 application
Tất cả khái niệmAll concepts (30)
Giới hạn của hàm số
Toán · Lớp 11 · Giới hạn. Hàm số liên tục
Giới hạn của f(x) khi x dần tới a là số L mà f(x) tiến sát tới và ở lại gần khi x lại gần a, kể cả khi tại đúng x = a hàm số không xác định.
NguồnSources: SGK Toán 11 (Kết nối tri thức), Chương V, Bài 16: Giới hạn của hàm số; OpenStax, Calculus Volume 1, mục 2.2: The Limit of a Function
Đạo hàm tại một điểm
Toán · Lớp 11 · Đạo hàm
Đạo hàm f'(x₀) là giới hạn của tỉ số [f(x₀ + h) − f(x₀)] / h khi h dần tới 0: nó đo hàm số thay đổi nhanh thế nào ngay tại x₀.
NguồnSources: SGK Toán 11 (Kết nối tri thức), Chương IX, Bài 31: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm; OpenStax, Calculus Volume 1, mục 3.1: Defining the Derivative
Ý nghĩa hình học: tiếp tuyến
Toán · Lớp 11 · Đạo hàm
f'(x₀) là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị tại điểm (x₀; f(x₀)); phương trình tiếp tuyến là y = f'(x₀)(x − x₀) + f(x₀).
NguồnSources: SGK Toán 11 (Kết nối tri thức), Chương IX, Bài 31: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm; OpenStax, Calculus Volume 1, mục 3.1: Defining the Derivative (phần Tangent Lines); MIT OpenCourseWare 18.01SC Single Variable Calculus (Unit 2: Applications of Differentiation, có phương pháp Newton)
Quy tắc tính đạo hàm
Toán · Lớp 11 · Đạo hàm
Các quy tắc giúp tính đạo hàm mà không phải lấy giới hạn mỗi lần: (xⁿ)' = n·xⁿ⁻¹, đạo hàm của tổng, hiệu, tích (u·v)' = u'v + uv' và thương.
NguồnSources: SGK Toán 11 (Kết nối tri thức), Chương IX, Bài 32: Các quy tắc tính đạo hàm; OpenStax, Calculus Volume 1, mục 3.3: Differentiation Rules
Đạo hàm hàm hợp (quy tắc chuỗi)
Toán · Lớp 11 · Đạo hàm
Nếu y = f(u) và u = g(x) thì đạo hàm của y theo x bằng f'(u) nhân g'(x): tốc độ thay đổi của các khâu nối tiếp được nhân với nhau.
NguồnSources: SGK Toán 11 (Kết nối tri thức), Chương IX, Bài 32: Các quy tắc tính đạo hàm; OpenStax, Calculus Volume 1, mục 3.6: The Chain Rule
Đạo hàm cấp hai
Toán · Lớp 11 · Đạo hàm
Đạo hàm cấp hai f''(x) là đạo hàm của f'(x): nó cho biết chính tốc độ thay đổi đang tăng lên hay giảm đi.
NguồnSources: SGK Toán 11 (Kết nối tri thức), Chương IX, Bài 33: Đạo hàm cấp hai; OpenStax, Calculus Volume 1, mục 3.2: The Derivative as a Function (phần Higher-Order Derivatives)
Tốc độ thay đổi tức thời
Toán · Lớp 12 · Ứng dụng đạo hàm
Nếu đại lượng Q phụ thuộc thời gian t thì Q'(t) là tốc độ Q thay đổi ngay tại thời điểm t, có đơn vị là (đơn vị của Q)/(đơn vị thời gian).
NguồnSources: SGK Toán 12 (Kết nối tri thức), tập 1, Bài 5: Ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn; OpenStax, Calculus Volume 1, mục 3.4: Derivatives as Rates of Change
Tính đơn điệu
Toán · Lớp 12 · Ứng dụng đạo hàm
Trên một khoảng, nếu f'(x) > 0 thì hàm số đồng biến (đồ thị đi lên), nếu f'(x) < 0 thì hàm số nghịch biến (đồ thị đi xuống).
NguồnSources: SGK Toán 12 (Kết nối tri thức), tập 1, Bài 1: Tính đơn điệu và cực trị của hàm số; OpenStax, Calculus Volume 1, mục 4.5: Derivatives and the Shape of a Graph
Đường tiệm cận
Toán · Lớp 12 · Ứng dụng đạo hàm
Tiệm cận là đường thẳng mà đồ thị tiến sát mãi khi x hoặc y ra vô cực; tiệm cận đứng, ngang và xiên đều được tìm bằng giới hạn.
NguồnSources: SGK Toán 12 (Kết nối tri thức), tập 1, Bài 3: Đường tiệm cận của đồ thị hàm số; OpenStax, Calculus Volume 1, mục 4.6: Limits at Infinity and Asymptotes
Cực trị
Toán · Lớp 12 · Ứng dụng đạo hàm
Điểm cực đại (cực tiểu) là nơi hàm số lớn nhất (nhỏ nhất) so với các điểm lân cận; nếu hàm có đạo hàm tại đó thì f'(x) = 0, và f' đổi dấu khi x đi qua điểm ấy.
NguồnSources: SGK Toán 12 (Kết nối tri thức), tập 1, Bài 1: Tính đơn điệu và cực trị của hàm số; OpenStax, Calculus Volume 1, mục 4.3: Maxima and Minima
Khảo sát và vẽ đồ thị
Toán · Lớp 12 · Ứng dụng đạo hàm
Khảo sát hàm số là gom thông tin từ đạo hàm và giới hạn (tập xác định, chiều biến thiên, cực trị, tiệm cận) vào bảng biến thiên rồi vẽ đồ thị.
NguồnSources: SGK Toán 12 (Kết nối tri thức), tập 1, Bài 4: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số; OpenStax, Calculus Volume 1, mục 4.6: Limits at Infinity and Asymptotes (phần Drawing the Graph of a Function)
Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất
Toán · Lớp 12 · Ứng dụng đạo hàm
Hàm số liên tục trên đoạn [a; b] luôn đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất; chỉ cần so giá trị tại hai đầu mút với giá trị tại các điểm mà đạo hàm bằng 0 hoặc không tồn tại.
NguồnSources: SGK Toán 12 (Kết nối tri thức), tập 1, Bài 2: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số; OpenStax, Calculus Volume 1, mục 4.3: Maxima and Minima (phần Locating Absolute Extrema)
Bài toán tối ưu thực tế
Toán · Lớp 12 · Ứng dụng đạo hàm
Đưa một tình huống thực tế về hàm số một biến, xác định miền giá trị hợp lý của biến, rồi dùng đạo hàm tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất.
NguồnSources: SGK Toán 12 (Kết nối tri thức), tập 1, Bài 5: Ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn; OpenStax, Calculus Volume 1, mục 4.7: Applied Optimization Problems
Lan truyền ngược (backpropagation)
Toán · Ứng dụng 2026 · Huấn luyện AI
Cách tính đạo hàm của sai số theo rất nhiều tham số của một mạng nơ-ron, bằng cách áp dụng quy tắc chuỗi lần lượt từ đầu ra ngược về đầu vào.
NguồnSources: Stanford CS231n, ghi chú bài giảng về lan truyền ngược và quy tắc chuỗi (optimization-2)
Hạ gradient (gradient descent)
Toán · Ứng dụng 2026 · Huấn luyện AI
Thuật toán tìm cực tiểu của hàm sai số: tính đạo hàm (độ dốc) tại vị trí hiện tại, nhích các tham số một bước nhỏ ngược hướng dốc, rồi lặp lại nhiều lần.
NguồnSources: Google Machine Learning Crash Course: Linear regression: Gradient descent; Stanford CS231n, ghi chú bài giảng về tối ưu và hạ gradient (optimization-1); Kingma, D. P. và Ba, J. (2014). Adam: A Method for Stochastic Optimization. arXiv:1412.6980
Nguyên hàm
Toán · Lớp 12 · Nguyên hàm và tích phân
F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên một khoảng nếu F'(x) = f(x) với mọi x thuộc khoảng đó; mọi nguyên hàm của f có dạng F(x) + C và được viết ∫f(x)dx = F(x) + C.
NguồnSources: SGK Toán 12 (Kết nối tri thức), tập 2, Bài 11: Nguyên hàm; OpenStax, Calculus Volume 1, mục 4.10: Antiderivatives
Tích phân
Toán · Lớp 12 · Nguyên hàm và tích phân
Với F là một nguyên hàm của f trên đoạn [a; b], tích phân của f từ a đến b là hiệu F(b) − F(a); khi f không âm, số này bằng diện tích phần nằm dưới đồ thị f trên đoạn đó.
NguồnSources: SGK Toán 12 (Kết nối tri thức), tập 2, Bài 12: Tích phân; OpenStax, Calculus Volume 1, mục 5.3: The Fundamental Theorem of Calculus
Diện tích hình phẳng
Toán · Lớp 12 · Nguyên hàm và tích phân
Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị y = f(x), y = g(x) và hai đường thẳng x = a, x = b có diện tích bằng tích phân từ a đến b của |f(x) − g(x)|.
NguồnSources: SGK Toán 12 (Kết nối tri thức), tập 2, Bài 13: Ứng dụng hình học của tích phân; OpenStax, Calculus Volume 1, mục 6.1: Areas between Curves
Thể tích khối tròn xoay
Toán · Lớp 12 · Nguyên hàm và tích phân
Quay phần nằm dưới đồ thị y = f(x) trên đoạn [a; b] quanh trục hoành được một khối tròn xoay có thể tích V = π nhân tích phân từ a đến b của [f(x)]², tức cộng dồn thể tích của các lát tròn mỏng.
NguồnSources: SGK Toán 12 (Kết nối tri thức), tập 2, Bài 13: Ứng dụng hình học của tích phân; OpenStax, Calculus Volume 1, mục 6.2: Determining Volumes by Slicing
Xác suất có điều kiện
Toán · Lớp 12 · Xác suất có điều kiện
Xác suất của biến cố A khi biết biến cố B đã xảy ra, kí hiệu P(A | B) = P(AB) / P(B) với P(B) > 0: thông tin mới thu hẹp các khả năng còn lại.
NguồnSources: SGK Toán 12 (Kết nối tri thức), tập 2, Bài 18: Xác suất có điều kiện; OpenStax, Introductory Statistics 2e, mục 3.1: Terminology
Công thức xác suất toàn phần
Toán · Lớp 12 · Xác suất có điều kiện
Nếu B và biến cố đối B̄ chia hết mọi khả năng thì P(A) = P(B)·P(A | B) + P(B̄)·P(A | B̄): tính xác suất của A bằng cách xét lần lượt từng trường hợp rồi cộng lại.
NguồnSources: SGK Toán 12 (Kết nối tri thức), tập 2, Bài 19: Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes; LibreTexts, MAT 1320 Finite Mathematics 2e (Community College of Denver, CC BY 4.0), mục 8.5: Bayes' Theorem
Công thức Bayes
Toán · Lớp 12 · Xác suất có điều kiện
Công thức đảo chiều xác suất có điều kiện: P(B | A) = P(B)·P(A | B) / P(A), với P(A) tính bằng công thức xác suất toàn phần; nó cho biết nên tin một giả thuyết tới đâu sau khi thấy bằng chứng.
NguồnSources: SGK Toán 12 (Kết nối tri thức), tập 2, Bài 19: Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes; LibreTexts, MAT 1320 Finite Mathematics 2e (Community College of Denver, CC BY 4.0), mục 8.5: Bayes' Theorem
Lọc thư rác bằng Bayes
Toán · Ứng dụng 2026 · AI và xác suất
Bộ lọc tính xác suất một thư là thư rác khi biết các từ trong thư, bằng cách kết hợp theo công thức Bayes xác suất "thuộc thư rác" của từng từ đã đếm được từ thư cũ.
NguồnSources: Paul Graham, "A Plan for Spam" (tháng 8/2002)
Mô hình ngôn ngữ đoán chữ tiếp theo
Toán · Ứng dụng 2026 · AI và xác suất
Mô hình ngôn ngữ ước lượng xác suất có điều kiện của chữ (token) tiếp theo khi biết các chữ đứng trước; viết một câu trả lời là chọn lần lượt từng chữ theo các xác suất đó.
NguồnSources: Google, Machine Learning Crash Course: Introduction to Large Language Models
Vận tốc tức thời
Vật lí · Lớp 10 · Động học
Vận tốc tức thời là vận tốc trung bình tính trong một khoảng thời gian cực ngắn quanh một thời điểm; viết bằng toán, đó là đạo hàm của tọa độ theo thời gian.
NguồnSources: SGK Vật lí 10 (Kết nối tri thức), Bài 5: Tốc độ và vận tốc; OpenStax, University Physics Volume 1, mục 3.2: Instantaneous Velocity and Speed
Gia tốc tức thời
Vật lí · Lớp 10 · Động học
Gia tốc cho biết vận tốc thay đổi nhanh hay chậm; gia tốc tức thời là đạo hàm của vận tốc theo thời gian, tức đạo hàm cấp hai của tọa độ.
NguồnSources: SGK Vật lí 10 (Kết nối tri thức), Bài 8: Chuyển động biến đổi. Gia tốc; OpenStax, University Physics Volume 1, mục 3.3: Average and Instantaneous Acceleration
Suất điện động cảm ứng (định luật Faraday)
Vật lí · Lớp 12 · Cảm ứng điện từ
Khi từ thông qua một mạch kín biến thiên, trong mạch xuất hiện suất điện động cảm ứng có độ lớn bằng tốc độ biến thiên của từ thông: e = −ΔΦ/Δt, viết theo đạo hàm là e = −Φ'(t).
NguồnSources: SGK Vật lí 12 (Kết nối tri thức), Bài 16: Từ thông. Hiện tượng cảm ứng điện từ; OpenStax, University Physics Volume 2, mục 13.1: Faraday's Law
Độ dịch chuyển từ đồ thị vận tốc
Vật lí · Lớp 10 · Động học
Trong chuyển động thẳng, độ dịch chuyển trong một khoảng thời gian bằng diện tích (có dấu) giới hạn bởi đồ thị vận tốc – thời gian, tức tích phân của vận tốc theo thời gian.
NguồnSources: SGK Vật lí 10 (Kết nối tri thức), Bài 9: Chuyển động thẳng biến đổi đều; OpenStax, University Physics Volume 1, mục 3.6: Finding Velocity and Displacement from Acceleration
Định luật phóng xạ
Vật lí · Lớp 12 · Vật lí hạt nhân
Số hạt nhân phóng xạ còn lại giảm theo hàm mũ N(t) = N₀·e^(−λt), vì tốc độ phân rã tỉ lệ với số hạt còn lại (dN/dt = −λN); sau mỗi chu kì bán rã T = ln2/λ ≈ 0,693/λ, số hạt còn một nửa.
NguồnSources: SGK Vật lí 12 (Kết nối tri thức), Bài 23: Hiện tượng phóng xạ; OpenStax, University Physics Volume 3, mục 10.3: Radioactive Decay
Tốc độ phản ứng tức thời
Hóa học · Lớp 10 · Tốc độ phản ứng
Tốc độ phản ứng cho biết nồng độ chất phản ứng hoặc sản phẩm thay đổi nhanh thế nào; tốc độ tức thời là độ biến thiên nồng độ trong một khoảng thời gian vô cùng ngắn, bằng hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị nồng độ – thời gian.
NguồnSources: SGK Hóa học 10 (Kết nối tri thức), Chương 6, Bài 19: Tốc độ phản ứng; OpenStax, Chemistry 2e, mục 12.1: Chemical Reaction Rates
Ủng hộ tùy tâmSupport, if you like
Tùy tâm, không bắt buộc. Mục Học miễn phí và sẽ luôn mở cho mọi người; nếu thấy có ích, bạn có thể quét mã để ủng hộ chi phí làm thêm các môn khác.Entirely optional. This section is free and will stay open to everyone; if it helps you, you can scan the code to support adding more subjects.
Nguồn dữ liệu và giấy phépData sources and license
Dữ liệu là các file chữ (JSON) trong repo meinya-hoc, giấy phép CC BY-SA 4.0. Mỗi khái niệm có ít nhất một nguồn đã mở để kiểm; định nghĩa viết lại bằng lời dễ hiểu, không chép nguyên văn sách.The data is plain text (JSON) in the meinya-hoc repository, licensed CC BY-SA 4.0. Every concept cites at least one source that was opened and checked.
Tải dữ liệuDownload the data: toan-12.json, ly-12.json, hoa-12.json
Thấy sai hay thiếu nguồn? Gửi thư tới [email protected].Found a mistake or a missing source? Write to [email protected].