{
  "mon": "toan",
  "lop": 12,
  "ten": "Toán 12",
  "mo_ta": "Ba cụm: Đạo hàm (nền lớp 11 dẫn tới Ứng dụng đạo hàm lớp 12), Nguyên hàm – Tích phân, Xác suất có điều kiện – Bayes; kèm bốn ứng dụng trong AI (huấn luyện mạng nơ-ron, lọc thư rác, mô hình ngôn ngữ).",
  "cap_nhat": "2026-10-14",
  "giay_phep": "CC BY-SA 4.0",
  "nodes": [
    {
      "id": "gioi-han",
      "ten": "Giới hạn của hàm số",
      "chuong": "Lớp 11 · Giới hạn. Hàm số liên tục",
      "lop": 11,
      "loai": "khai-niem",
      "dinh_nghia": "Giới hạn của f(x) khi x dần tới a là số L mà f(x) tiến sát tới và ở lại gần khi x lại gần a, kể cả khi tại đúng x = a hàm số không xác định.",
      "vi_sao_2026": "Mọi đại lượng \"tức thời\" (vận tốc tức thời, tốc độ phản ứng tức thời, độ dốc của hàm sai số khi huấn luyện AI) đều được định nghĩa bằng giới hạn; không có giới hạn thì không có đạo hàm.",
      "vi_du": "f(x) = (x² − 1)/(x − 1) không xác định tại x = 1, nhưng với x ≠ 1 thì f(x) = x + 1, nên khi x dần tới 1 thì f(x) dần tới 2.",
      "cau_hoi": [
        "Vì sao f(x) vẫn có thể có giới hạn tại a dù f(a) không tồn tại?",
        "Giới hạn bên trái và giới hạn bên phải khác nhau thì giới hạn tại điểm đó có tồn tại không?"
      ],
      "nguon": [
        {"ten": "SGK Toán 11 (Kết nối tri thức), Chương V, Bài 16: Giới hạn của hàm số", "ghi_chu": "Đề mục \"1. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm\" dưới Bài 16, Chương 5: đối chiếu loigiaihay.com và vietjack.com (mở 14/10/2026); chưa mở sách giấy."},
        {"ten": "OpenStax, Calculus Volume 1, mục 2.2: The Limit of a Function", "url": "https://openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/2-2-the-limit-of-a-function", "doc": "2026-10-13"}
      ],
      "x": 0.037,
      "y": 0.132
    },
    {
      "id": "dao-ham",
      "ten": "Đạo hàm tại một điểm",
      "chuong": "Lớp 11 · Đạo hàm",
      "lop": 11,
      "loai": "khai-niem",
      "dinh_nghia": "Đạo hàm f'(x₀) là giới hạn của tỉ số [f(x₀ + h) − f(x₀)] / h khi h dần tới 0: nó đo hàm số thay đổi nhanh thế nào ngay tại x₀.",
      "vi_sao_2026": "Đạo hàm là phép tính lõi khi huấn luyện AI: máy tính đạo hàm của sai số theo từng tham số để biết nên chỉnh tham số theo hướng nào (xem Hạ gradient).",
      "vi_du": "Với f(x) = x², tỉ số [(x₀ + h)² − x₀²] / h = 2x₀ + h, dần tới 2x₀ khi h dần tới 0; vậy f'(3) = 6.",
      "cau_hoi": [
        "Đạo hàm tại một điểm khác tốc độ thay đổi trung bình trên một khoảng ở chỗ nào?",
        "Nếu f'(x₀) = 0 thì đồ thị tại x₀ trông thế nào?"
      ],
      "nguon": [
        {"ten": "SGK Toán 11 (Kết nối tri thức), Chương IX, Bài 31: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm", "ghi_chu": "Tên bài đối chiếu qua mục lục bên thứ ba (hoatieu.vn, mở 13/10/2026); chưa mở sách gốc."},
        {"ten": "OpenStax, Calculus Volume 1, mục 3.1: Defining the Derivative", "url": "https://openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/3-1-defining-the-derivative", "doc": "2026-10-13"}
      ],
      "x": 0.132,
      "y": 0.252
    },
    {
      "id": "tiep-tuyen",
      "ten": "Ý nghĩa hình học: tiếp tuyến",
      "chuong": "Lớp 11 · Đạo hàm",
      "lop": 11,
      "loai": "khai-niem",
      "dinh_nghia": "f'(x₀) là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị tại điểm (x₀; f(x₀)); phương trình tiếp tuyến là y = f'(x₀)(x − x₀) + f(x₀).",
      "vi_sao_2026": "Tiếp tuyến là cách xấp xỉ một đường cong bằng đường thẳng: phóng to đủ gần quanh một điểm thì đồ thị trông gần như thẳng. Ý tưởng này nằm sau phương pháp Newton giải gần đúng phương trình.",
      "vi_du": "f(x) = x² tại x₀ = 1: f'(1) = 2, tiếp tuyến là y = 2(x − 1) + 1 = 2x − 1.",
      "cau_hoi": [
        "Tiếp tuyến nằm ngang thì đạo hàm tại điểm tiếp xúc bằng bao nhiêu?",
        "Vì sao phóng to đồ thị quanh một điểm thì nó gần giống tiếp tuyến?"
      ],
      "nguon": [
        {"ten": "SGK Toán 11 (Kết nối tri thức), Chương IX, Bài 31: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm", "ghi_chu": "Tên bài đối chiếu qua mục lục bên thứ ba (hoatieu.vn, mở 13/10/2026); chưa mở sách gốc."},
        {"ten": "OpenStax, Calculus Volume 1, mục 3.1: Defining the Derivative (phần Tangent Lines)", "url": "https://openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/3-1-defining-the-derivative", "doc": "2026-10-13"},
        {"ten": "MIT OpenCourseWare 18.01SC Single Variable Calculus (Unit 2: Applications of Differentiation, có phương pháp Newton)", "url": "https://ocw.mit.edu/courses/18-01sc-single-variable-calculus-fall-2010/", "doc": "2026-10-13"}
      ],
      "x": 0.104,
      "y": 0.012
    },
    {
      "id": "quy-tac-dao-ham",
      "ten": "Quy tắc tính đạo hàm",
      "chuong": "Lớp 11 · Đạo hàm",
      "lop": 11,
      "loai": "khai-niem",
      "dinh_nghia": "Các quy tắc giúp tính đạo hàm mà không phải lấy giới hạn mỗi lần: (xⁿ)' = n·xⁿ⁻¹, đạo hàm của tổng, hiệu, tích (u·v)' = u'v + uv' và thương.",
      "vi_sao_2026": "Phần mềm huấn luyện AI tính đạo hàm tự động bằng cách ghép những quy tắc đơn giản này lại, từng phép tính một (xem Lan truyền ngược).",
      "vi_du": "(x³ + 2x)' = 3x² + 2; (x·sin x)' = sin x + x·cos x.",
      "cau_hoi": [
        "Vì sao đạo hàm của một tích không bằng tích các đạo hàm?",
        "Thử kiểm lại (x²)' = 2x bằng định nghĩa giới hạn."
      ],
      "nguon": [
        {"ten": "SGK Toán 11 (Kết nối tri thức), Chương IX, Bài 32: Các quy tắc tính đạo hàm", "ghi_chu": "Tên bài đối chiếu qua mục lục bên thứ ba (hoatieu.vn, mở 13/10/2026); chưa mở sách gốc."},
        {"ten": "OpenStax, Calculus Volume 1, mục 3.3: Differentiation Rules", "url": "https://openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/3-3-differentiation-rules", "doc": "2026-10-13"}
      ],
      "x": 0.222,
      "y": 0.132
    },
    {
      "id": "dao-ham-ham-hop",
      "ten": "Đạo hàm hàm hợp (quy tắc chuỗi)",
      "chuong": "Lớp 11 · Đạo hàm",
      "lop": 11,
      "loai": "khai-niem",
      "dinh_nghia": "Nếu y = f(u) và u = g(x) thì đạo hàm của y theo x bằng f'(u) nhân g'(x): tốc độ thay đổi của các khâu nối tiếp được nhân với nhau.",
      "vi_sao_2026": "Mạng nơ-ron là rất nhiều hàm lồng vào nhau; lan truyền ngược chính là áp dụng quy tắc chuỗi lặp đi lặp lại để biết mỗi tham số ảnh hưởng tới sai số bao nhiêu.",
      "vi_du": "y = (3x + 1)⁵: đặt u = 3x + 1 thì y' = 5u⁴ · 3 = 15(3x + 1)⁴.",
      "cau_hoi": [
        "Bánh răng A quay nhanh gấp 2 lần bánh B, B nhanh gấp 3 lần C: A nhanh gấp mấy lần C? Điều này giống quy tắc chuỗi ở đâu?",
        "Tính đạo hàm của sin(x²)."
      ],
      "nguon": [
        {"ten": "SGK Toán 11 (Kết nối tri thức), Chương IX, Bài 32: Các quy tắc tính đạo hàm", "ghi_chu": "Mục \"3. Đạo hàm của hàm số hợp\" (HĐ4 trang 90, tập 2) theo vietjack.com; loigiaihay.com tóm tắt là \"2. Đạo hàm của hàm hợp\", y'x = y'u.u'x (mở 14/10/2026); chưa mở sách giấy."},
        {"ten": "OpenStax, Calculus Volume 1, mục 3.6: The Chain Rule", "url": "https://openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/3-6-the-chain-rule", "doc": "2026-10-13"}
      ],
      "x": 0.244,
      "y": 0.0
    },
    {
      "id": "dao-ham-cap-hai",
      "ten": "Đạo hàm cấp hai",
      "chuong": "Lớp 11 · Đạo hàm",
      "lop": 11,
      "loai": "khai-niem",
      "dinh_nghia": "Đạo hàm cấp hai f''(x) là đạo hàm của f'(x): nó cho biết chính tốc độ thay đổi đang tăng lên hay giảm đi.",
      "vi_sao_2026": "Trong vật lý, đạo hàm cấp hai của tọa độ là gia tốc; với số liệu kinh tế hay dữ liệu, nó cho biết đà tăng đang nhanh lên hay chậm lại.",
      "vi_du": "s(t) = 5t² (mét): s'(t) = 10t là vận tốc, s''(t) = 10 m/s² là gia tốc, không đổi.",
      "cau_hoi": [
        "f''(x) > 0 trên một khoảng thì đồ thị cong lên hay cong xuống?",
        "Xe chạy với vận tốc không đổi thì đạo hàm cấp hai của quãng đường bằng bao nhiêu?"
      ],
      "nguon": [
        {"ten": "SGK Toán 11 (Kết nối tri thức), Chương IX, Bài 33: Đạo hàm cấp hai", "ghi_chu": "Tên bài đối chiếu qua mục lục bên thứ ba (hoatieu.vn, mở 13/10/2026); chưa mở sách gốc."},
        {"ten": "OpenStax, Calculus Volume 1, mục 3.2: The Derivative as a Function (phần Higher-Order Derivatives)", "url": "https://openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/3-2-the-derivative-as-a-function", "doc": "2026-10-13"}
      ],
      "x": 0.222,
      "y": 0.336
    },
    {
      "id": "toc-do-thay-doi",
      "ten": "Tốc độ thay đổi tức thời",
      "chuong": "Lớp 12 · Ứng dụng đạo hàm",
      "lop": 12,
      "loai": "khai-niem",
      "dinh_nghia": "Nếu đại lượng Q phụ thuộc thời gian t thì Q'(t) là tốc độ Q thay đổi ngay tại thời điểm t, có đơn vị là (đơn vị của Q)/(đơn vị thời gian).",
      "vi_sao_2026": "Cùng một phép tính dùng cho vận tốc xe, tốc độ phản ứng hóa học, tốc độ tăng dân số hay chi phí biên trong kinh tế: học một lần, dùng ở nhiều môn.",
      "vi_du": "Lượng nước trong bể V(t) = 200 + 15t − t² (lít, t tính bằng phút): V'(t) = 15 − 2t, nên ở phút thứ 5 nước tăng 5 lít/phút; sau phút 7,5 lượng nước bắt đầu giảm.",
      "cau_hoi": [
        "Đạo hàm của quãng đường (mét) theo thời gian (giây) có đơn vị gì?",
        "Tốc độ trung bình trong một giờ và tốc độ đúng lúc 10 giờ sáng khác nhau thế nào?"
      ],
      "nguon": [
        {"ten": "SGK Toán 12 (Kết nối tri thức), tập 1, Bài 5: Ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn", "ghi_chu": "Mục \"1. Tốc độ thay đổi của một đại lượng\" (vận tốc tức thời v = s'(t), gia tốc a = v'(t)) theo loigiaihay.com (mở 14/10/2026); chưa mở sách giấy."},
        {"ten": "OpenStax, Calculus Volume 1, mục 3.4: Derivatives as Rates of Change", "url": "https://openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/3-4-derivatives-as-rates-of-change", "doc": "2026-10-13"}
      ],
      "x": 0.188,
      "y": 0.48
    },
    {
      "id": "don-dieu",
      "ten": "Tính đơn điệu",
      "chuong": "Lớp 12 · Ứng dụng đạo hàm",
      "lop": 12,
      "loai": "khai-niem",
      "dinh_nghia": "Trên một khoảng, nếu f'(x) > 0 thì hàm số đồng biến (đồ thị đi lên), nếu f'(x) < 0 thì hàm số nghịch biến (đồ thị đi xuống).",
      "vi_sao_2026": "Đọc dấu của đạo hàm là cách nhanh nhất để biết một đại lượng đang tăng hay giảm, từ doanh thu, nhiệt độ tới sai số của mô hình khi huấn luyện.",
      "vi_du": "f(x) = x³ − 3x có f'(x) = 3x² − 3: âm trên (−1; 1) nên hàm nghịch biến ở đó, dương khi x < −1 hoặc x > 1 nên hàm đồng biến.",
      "cau_hoi": [
        "f'(x) = 0 tại một điểm có làm hàm hết đồng biến không? Thử với f(x) = x³.",
        "Lập bảng biến thiên của f(x) = x² − 4x."
      ],
      "nguon": [
        {"ten": "SGK Toán 12 (Kết nối tri thức), tập 1, Bài 1: Tính đơn điệu và cực trị của hàm số", "ghi_chu": "Tên bài đối chiếu qua bảng phân phối chương trình (hoatieu.vn, mở 13/10/2026); chưa mở sách gốc."},
        {"ten": "OpenStax, Calculus Volume 1, mục 4.5: Derivatives and the Shape of a Graph", "url": "https://openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/4-5-derivatives-and-the-shape-of-a-graph", "doc": "2026-10-13"}
      ],
      "x": 0.328,
      "y": 0.192
    },
    {
      "id": "tiem-can",
      "ten": "Đường tiệm cận",
      "chuong": "Lớp 12 · Ứng dụng đạo hàm",
      "lop": 12,
      "loai": "khai-niem",
      "dinh_nghia": "Tiệm cận là đường thẳng mà đồ thị tiến sát mãi khi x hoặc y ra vô cực; tiệm cận đứng, ngang và xiên đều được tìm bằng giới hạn.",
      "vi_sao_2026": "Tiệm cận cho biết về lâu dài một đại lượng tiến tới đâu, ví dụ chi phí trung bình cho mỗi sản phẩm khi sản xuất rất nhiều.",
      "vi_du": "y = (2x + 1)/(x − 1): tiệm cận đứng x = 1 (mẫu bằng 0), tiệm cận ngang y = 2 (khi x → ±∞ thì y → 2).",
      "cau_hoi": [
        "Đồ thị có thể cắt tiệm cận ngang của chính nó không?",
        "Tìm các đường tiệm cận của y = 1/x."
      ],
      "nguon": [
        {"ten": "SGK Toán 12 (Kết nối tri thức), tập 1, Bài 3: Đường tiệm cận của đồ thị hàm số", "ghi_chu": "Tên bài đối chiếu qua bảng phân phối chương trình (hoatieu.vn, mở 13/10/2026); chưa mở sách gốc."},
        {"ten": "OpenStax, Calculus Volume 1, mục 4.6: Limits at Infinity and Asymptotes", "url": "https://openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/4-6-limits-at-infinity-and-asymptotes", "doc": "2026-10-13"}
      ],
      "x": 0.356,
      "y": 0.036
    },
    {
      "id": "cuc-tri",
      "ten": "Cực trị",
      "chuong": "Lớp 12 · Ứng dụng đạo hàm",
      "lop": 12,
      "loai": "khai-niem",
      "dinh_nghia": "Điểm cực đại (cực tiểu) là nơi hàm số lớn nhất (nhỏ nhất) so với các điểm lân cận; nếu hàm có đạo hàm tại đó thì f'(x) = 0, và f' đổi dấu khi x đi qua điểm ấy.",
      "vi_sao_2026": "Tìm chỗ đạo hàm bằng 0 là ý tưởng gốc của mọi bài toán tối ưu; huấn luyện AI chính là đi tìm điểm cực tiểu của hàm sai số.",
      "vi_du": "f(x) = x³ − 3x: f'(x) = 0 tại x = −1 (f' đổi dấu từ dương sang âm, cực đại f(−1) = 2) và tại x = 1 (từ âm sang dương, cực tiểu f(1) = −2).",
      "cau_hoi": [
        "f'(x₀) = 0 có chắc x₀ là điểm cực trị không? Xét f(x) = x³ tại x = 0.",
        "Giá trị cực đại có luôn là giá trị lớn nhất của hàm số không?"
      ],
      "nguon": [
        {"ten": "SGK Toán 12 (Kết nối tri thức), tập 1, Bài 1: Tính đơn điệu và cực trị của hàm số", "ghi_chu": "Tên bài đối chiếu qua bảng phân phối chương trình (hoatieu.vn, mở 13/10/2026); chưa mở sách gốc."},
        {"ten": "OpenStax, Calculus Volume 1, mục 4.3: Maxima and Minima", "url": "https://openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/4-3-maxima-and-minima", "doc": "2026-10-13"}
      ],
      "x": 0.39,
      "y": 0.3
    },
    {
      "id": "khao-sat-do-thi",
      "ten": "Khảo sát và vẽ đồ thị",
      "chuong": "Lớp 12 · Ứng dụng đạo hàm",
      "lop": 12,
      "loai": "khai-niem",
      "dinh_nghia": "Khảo sát hàm số là gom thông tin từ đạo hàm và giới hạn (tập xác định, chiều biến thiên, cực trị, tiệm cận) vào bảng biến thiên rồi vẽ đồ thị.",
      "vi_sao_2026": "Nhìn một đồ thị và đọc ra xu hướng, đỉnh, đáy, giới hạn là kỹ năng cần cho mọi nghề làm việc với số liệu.",
      "vi_du": "y = x³ − 3x: đồng biến trên (−∞; −1), nghịch biến trên (−1; 1), đồng biến trên (1; +∞); cực đại (−1; 2), cực tiểu (1; −2); đồ thị cắt trục hoành tại x = 0 và x = ±√3.",
      "cau_hoi": [
        "Bảng biến thiên cho biết những gì mà vài điểm tính tay không cho biết?",
        "Đồ thị hàm bậc ba có luôn có hai điểm cực trị không?"
      ],
      "nguon": [
        {"ten": "SGK Toán 12 (Kết nối tri thức), tập 1, Bài 4: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số", "ghi_chu": "Tên bài đối chiếu qua bảng phân phối chương trình (hoatieu.vn, mở 13/10/2026); chưa mở sách gốc."},
        {"ten": "OpenStax, Calculus Volume 1, mục 4.6: Limits at Infinity and Asymptotes (phần Drawing the Graph of a Function)", "url": "https://openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/4-6-limits-at-infinity-and-asymptotes", "doc": "2026-10-13"}
      ],
      "x": 0.479,
      "y": 0.096
    },
    {
      "id": "gtln-gtnn",
      "ten": "Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất",
      "chuong": "Lớp 12 · Ứng dụng đạo hàm",
      "lop": 12,
      "loai": "khai-niem",
      "dinh_nghia": "Hàm số liên tục trên đoạn [a; b] luôn đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất; chỉ cần so giá trị tại hai đầu mút với giá trị tại các điểm mà đạo hàm bằng 0 hoặc không tồn tại.",
      "vi_sao_2026": "Đây là khuôn của mọi quyết định \"tốt nhất có thể\": chi phí thấp nhất, lợi nhuận cao nhất, sai số nhỏ nhất.",
      "vi_du": "f(x) = x³ − 3x trên đoạn [0; 2]: f(0) = 0, f(1) = −2, f(2) = 2, nên giá trị lớn nhất là 2 (tại x = 2) và giá trị nhỏ nhất là −2 (tại x = 1).",
      "cau_hoi": [
        "Vì sao phải xét cả hai đầu mút của đoạn?",
        "Trên khoảng mở (0; 2), hàm số ở ví dụ có giá trị lớn nhất không?"
      ],
      "nguon": [
        {"ten": "SGK Toán 12 (Kết nối tri thức), tập 1, Bài 2: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số", "ghi_chu": "Tên bài đối chiếu qua bảng phân phối chương trình (hoatieu.vn, mở 13/10/2026); chưa mở sách gốc."},
        {"ten": "OpenStax, Calculus Volume 1, mục 4.3: Maxima and Minima (phần Locating Absolute Extrema)", "url": "https://openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/4-3-maxima-and-minima", "doc": "2026-10-13"}
      ],
      "x": 0.502,
      "y": 0.24
    },
    {
      "id": "toi-uu",
      "ten": "Bài toán tối ưu thực tế",
      "chuong": "Lớp 12 · Ứng dụng đạo hàm",
      "lop": 12,
      "loai": "khai-niem",
      "dinh_nghia": "Đưa một tình huống thực tế về hàm số một biến, xác định miền giá trị hợp lý của biến, rồi dùng đạo hàm tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất.",
      "vi_sao_2026": "Từ làm chiếc hộp tốn ít vật liệu nhất tới chọn giá bán cho doanh thu cao nhất: tối ưu là cách ra quyết định bằng toán, và cũng là mục tiêu khi huấn luyện mô hình AI.",
      "vi_du": "Có 40 m lưới rào ba mặt của một vườn hình chữ nhật sát tường. Chiều rộng x (m) thì diện tích S = x(40 − 2x); S'(x) = 40 − 4x = 0 khi x = 10, nên vườn 10 m × 20 m có diện tích lớn nhất, 200 m².",
      "cau_hoi": [
        "Vì sao phải xác định miền giá trị hợp lý của x trước khi tìm cực trị?",
        "Làm lại ví dụ khi có 60 m lưới."
      ],
      "nguon": [
        {"ten": "SGK Toán 12 (Kết nối tri thức), tập 1, Bài 5: Ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn", "ghi_chu": "Tên bài đối chiếu qua bảng phân phối chương trình (hoatieu.vn, mở 13/10/2026); chưa mở sách gốc."},
        {"ten": "OpenStax, Calculus Volume 1, mục 4.7: Applied Optimization Problems", "url": "https://openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/4-7-applied-optimization-problems", "doc": "2026-10-13"}
      ],
      "x": 0.563,
      "y": 0.384
    },
    {
      "id": "lan-truyen-nguoc",
      "ten": "Lan truyền ngược (backpropagation)",
      "chuong": "Ứng dụng 2026 · Huấn luyện AI",
      "loai": "ung-dung",
      "dinh_nghia": "Cách tính đạo hàm của sai số theo rất nhiều tham số của một mạng nơ-ron, bằng cách áp dụng quy tắc chuỗi lần lượt từ đầu ra ngược về đầu vào.",
      "vi_sao_2026": "Lan truyền ngược cho máy đủ đạo hàm để huấn luyện các mạng nơ-ron lớn; nền toán của nó là quy tắc chuỗi lớp 11.",
      "vi_du": "Với f = (x + y)·z, đặt q = x + y thì f = q·z. Đạo hàm của f theo q là z, của q theo x là 1, nên theo quy tắc chuỗi, đạo hàm của f theo x là z · 1 = z.",
      "cau_hoi": [
        "Vì sao tính ngược từ đầu ra một lượt lại đỡ tốn công hơn tính riêng cho từng tham số?",
        "Với f = (x + y)·z và x = −2, y = 5, z = −4: tăng x một chút thì f tăng hay giảm?"
      ],
      "nguon": [
        {"ten": "Stanford CS231n, ghi chú bài giảng về lan truyền ngược và quy tắc chuỗi (optimization-2)", "url": "https://cs231n.github.io/optimization-2/", "doc": "2026-10-13"}
      ],
      "x": 0.345,
      "y": 0.516
    },
    {
      "id": "gradient-descent",
      "ten": "Hạ gradient (gradient descent)",
      "chuong": "Ứng dụng 2026 · Huấn luyện AI",
      "loai": "ung-dung",
      "dinh_nghia": "Thuật toán tìm cực tiểu của hàm sai số: tính đạo hàm (độ dốc) tại vị trí hiện tại, nhích các tham số một bước nhỏ ngược hướng dốc, rồi lặp lại nhiều lần.",
      "vi_sao_2026": "Mạng nơ-ron, nền của các mô hình AI hiện nay, được huấn luyện bằng hạ gradient hoặc biến thể của nó như Adam (Kingma và Ba, 2014): đạo hàm lớp 11–12 là nền móng trực tiếp.",
      "vi_du": "Tìm cực tiểu của f(w) = (w − 3)², xuất phát từ w = 0, bước 0,1: f'(w) = 2(w − 3). Bước 1: w = 0 − 0,1·(−6) = 0,6. Bước 2: w = 0,6 − 0,1·(−4,8) = 1,08. Cứ thế w tiến dần về 3.",
      "cau_hoi": [
        "Bước nhảy (tốc độ học) quá lớn thì chuyện gì có thể xảy ra?",
        "Hạ gradient có chắc tìm được giá trị nhỏ nhất trên cả miền không, hay chỉ tới cực tiểu gần nhất?"
      ],
      "nguon": [
        {"ten": "Google Machine Learning Crash Course: Linear regression: Gradient descent", "url": "https://developers.google.com/machine-learning/crash-course/linear-regression/gradient-descent", "doc": "2026-10-13"},
        {"ten": "Stanford CS231n, ghi chú bài giảng về tối ưu và hạ gradient (optimization-1)", "url": "https://cs231n.github.io/optimization-1/", "doc": "2026-10-13"},
        {"ten": "Kingma, D. P. và Ba, J. (2014). Adam: A Method for Stochastic Optimization. arXiv:1412.6980", "url": "https://arxiv.org/abs/1412.6980", "doc": "2026-10-13"}
      ],
      "x": 0.468,
      "y": 0.516
    },
    {
      "id": "nguyen-ham",
      "ten": "Nguyên hàm",
      "chuong": "Lớp 12 · Nguyên hàm và tích phân",
      "lop": 12,
      "loai": "khai-niem",
      "dinh_nghia": "F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên một khoảng nếu F'(x) = f(x) với mọi x thuộc khoảng đó; mọi nguyên hàm của f có dạng F(x) + C và được viết ∫f(x)dx = F(x) + C.",
      "vi_sao_2026": "Nhiều đại lượng chỉ đo được tốc độ thay đổi của nó (vận tốc, lưu lượng, công suất); nguyên hàm là phép đi ngược của đạo hàm để dựng lại chính đại lượng đó.",
      "vi_du": "(x³)' = 3x² nên ∫3x² dx = x³ + C. Kiểm lại bằng cách lấy đạo hàm vế phải: (x³ + C)' = 3x².",
      "cau_hoi": [
        "Vì sao một hàm có vô số nguyên hàm, và các nguyên hàm đó khác nhau ở điểm nào?",
        "Xe có vận tốc v(t) = 2t (m/s) và lúc t = 0 ở vị trí x = 5 m. Tìm vị trí x(t)."
      ],
      "nguon": [
        {"ten": "SGK Toán 12 (Kết nối tri thức), tập 2, Bài 11: Nguyên hàm", "ghi_chu": "Tên bài theo danh mục bài của sách trên loigiaihay.com, 2048.vn, hoatieu.vn (Chương IV: Nguyên hàm và tích phân), xem qua kết quả tìm kiếm 14/10/2026; chưa mở sách giấy."},
        {"ten": "OpenStax, Calculus Volume 1, mục 4.10: Antiderivatives", "url": "https://openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/4-10-antiderivatives", "doc": "2026-10-14"}
      ],
      "x": 0.66,
      "y": 0.1
    },
    {
      "id": "tich-phan",
      "ten": "Tích phân",
      "chuong": "Lớp 12 · Nguyên hàm và tích phân",
      "lop": 12,
      "loai": "khai-niem",
      "dinh_nghia": "Với F là một nguyên hàm của f trên đoạn [a; b], tích phân của f từ a đến b là hiệu F(b) − F(a); khi f không âm, số này bằng diện tích phần nằm dưới đồ thị f trên đoạn đó.",
      "vi_sao_2026": "Tích phân cộng dồn vô số phần rất nhỏ thành một tổng: quãng đường từ vận tốc, điện năng từ công suất, lượng nước qua đập từ lưu lượng. Máy tính tính gần đúng tích phân bằng cách cộng thật nhiều lát mỏng.",
      "vi_du": "∫ từ 0 đến 2 của 3x² dx = 2³ − 0³ = 8. Xe chạy với v(t) = 2t (m/s) trong 3 giây đầu đi được ∫ từ 0 đến 3 của 2t dt = 3² − 0² = 9 m.",
      "cau_hoi": [
        "Vì sao chọn nguyên hàm nào (khác nhau một hằng số C) thì F(b) − F(a) vẫn ra cùng một số?",
        "Nếu f(x) âm trên cả đoạn [a; b] thì tích phân âm hay dương, và diện tích khi đó bằng gì?"
      ],
      "nguon": [
        {"ten": "SGK Toán 12 (Kết nối tri thức), tập 2, Bài 12: Tích phân", "ghi_chu": "Tên bài theo danh mục bài của sách trên loigiaihay.com, 2048.vn, hoatieu.vn (Chương IV: Nguyên hàm và tích phân), xem qua kết quả tìm kiếm 14/10/2026; chưa mở sách giấy."},
        {"ten": "OpenStax, Calculus Volume 1, mục 5.3: The Fundamental Theorem of Calculus", "url": "https://openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/5-3-the-fundamental-theorem-of-calculus", "doc": "2026-10-14"}
      ],
      "x": 0.8,
      "y": 0.24
    },
    {
      "id": "dien-tich-hinh-phang",
      "ten": "Diện tích hình phẳng",
      "chuong": "Lớp 12 · Nguyên hàm và tích phân",
      "lop": 12,
      "loai": "khai-niem",
      "dinh_nghia": "Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị y = f(x), y = g(x) và hai đường thẳng x = a, x = b có diện tích bằng tích phân từ a đến b của |f(x) − g(x)|.",
      "vi_sao_2026": "Đo diện tích của hình có biên cong (mặt hồ trên bản đồ, tiết diện một chi tiết máy, vùng nằm dưới một đường số liệu) đều dùng đúng ý tưởng này: chia thành dải mỏng rồi cộng lại.",
      "vi_du": "Hình giới hạn bởi y = x và y = x² trên [0; 1] (ở đó x ≥ x²) có diện tích ∫ từ 0 đến 1 của (x − x²) dx = 1/2 − 1/3 = 1/6.",
      "cau_hoi": [
        "Vì sao phải lấy trị tuyệt đối |f(x) − g(x)| khi hai đồ thị cắt nhau bên trong đoạn [a; b]?",
        "Tính diện tích hình giới hạn bởi y = x², trục hoành và hai đường x = 0, x = 3."
      ],
      "nguon": [
        {"ten": "SGK Toán 12 (Kết nối tri thức), tập 2, Bài 13: Ứng dụng hình học của tích phân", "ghi_chu": "Tên bài theo danh mục bài của sách trên loigiaihay.com, 2048.vn, hoatieu.vn (Chương IV: Nguyên hàm và tích phân), xem qua kết quả tìm kiếm 14/10/2026; chưa mở sách giấy."},
        {"ten": "OpenStax, Calculus Volume 1, mục 6.1: Areas between Curves", "url": "https://openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/6-1-areas-between-curves", "doc": "2026-10-14"}
      ],
      "x": 0.97,
      "y": 0.06
    },
    {
      "id": "the-tich-khoi-tron-xoay",
      "ten": "Thể tích khối tròn xoay",
      "chuong": "Lớp 12 · Nguyên hàm và tích phân",
      "lop": 12,
      "loai": "khai-niem",
      "dinh_nghia": "Quay phần nằm dưới đồ thị y = f(x) trên đoạn [a; b] quanh trục hoành được một khối tròn xoay có thể tích V = π nhân tích phân từ a đến b của [f(x)]², tức cộng dồn thể tích của các lát tròn mỏng.",
      "vi_sao_2026": "Chai, bình, bồn chứa, chi tiết tiện đều là vật tròn xoay cần biết thể tích; ý cắt vật thành lát mỏng rồi cộng lại cũng là cách máy in 3D dựng vật từng lớp.",
      "vi_du": "Quay đường y = √x trên [0; 4] quanh trục hoành: V = π · ∫ từ 0 đến 4 của x dx = π · 16/2 = 8π ≈ 25,1 (đơn vị thể tích).",
      "cau_hoi": [
        "Kiểm lại thể tích khối nón cao h, bán kính đáy r bằng cách quay đường y = (r/h)·x trên [0; h].",
        "Vì sao trong công thức có [f(x)]² chứ không phải f(x)?"
      ],
      "nguon": [
        {"ten": "SGK Toán 12 (Kết nối tri thức), tập 2, Bài 13: Ứng dụng hình học của tích phân", "ghi_chu": "Tên bài theo danh mục bài của sách trên loigiaihay.com, 2048.vn, hoatieu.vn (Chương IV: Nguyên hàm và tích phân), xem qua kết quả tìm kiếm 14/10/2026; chưa mở sách giấy."},
        {"ten": "OpenStax, Calculus Volume 1, mục 6.2: Determining Volumes by Slicing", "url": "https://openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/6-2-determining-volumes-by-slicing", "doc": "2026-10-14"}
      ],
      "x": 0.98,
      "y": 0.4
    },
    {
      "id": "xac-suat-co-dieu-kien",
      "ten": "Xác suất có điều kiện",
      "chuong": "Lớp 12 · Xác suất có điều kiện",
      "lop": 12,
      "loai": "khai-niem",
      "dinh_nghia": "Xác suất của biến cố A khi biết biến cố B đã xảy ra, kí hiệu P(A | B) = P(AB) / P(B) với P(B) > 0: thông tin mới thu hẹp các khả năng còn lại.",
      "vi_sao_2026": "Phần lớn con số xác suất trong đời là xác suất có điều kiện: khả năng mưa khi trời đã nhiều mây, khả năng mắc bệnh khi xét nghiệm dương tính. Mô hình ngôn ngữ cũng chọn chữ tiếp theo theo xác suất có điều kiện của những chữ đã viết.",
      "vi_du": "Gieo hai con xúc xắc. Biết tổng là 8 (5 khả năng: 2-6, 3-5, 4-4, 5-3, 6-2) thì xác suất có ít nhất một mặt 6 là 2/5, trong khi lúc chưa biết gì là 11/36.",
      "cau_hoi": [
        "P(A | B) và P(B | A) có bằng nhau không? Thử với A = \"tổng là 8\", B = \"có ít nhất một mặt 6\".",
        "Khi nào thì P(A | B) = P(A), và điều đó nói gì về hai biến cố A, B?"
      ],
      "nguon": [
        {"ten": "SGK Toán 12 (Kết nối tri thức), tập 2, Bài 18: Xác suất có điều kiện", "ghi_chu": "Định nghĩa P(A | B) = P(AB) / P(B) với P(B) > 0 theo trang lý thuyết Bài 18 trên loigiaihay.com. Tên bài theo loigiaihay.com và hoatieu.vn (Chương VI: Xác suất có điều kiện), xem qua kết quả tìm kiếm 14/10/2026; chưa mở sách giấy."},
        {"ten": "OpenStax, Introductory Statistics 2e, mục 3.1: Terminology", "url": "https://openstax.org/books/introductory-statistics-2e/pages/3-1-terminology", "doc": "2026-10-14"}
      ],
      "x": 0.4,
      "y": 0.8
    },
    {
      "id": "xac-suat-toan-phan",
      "ten": "Công thức xác suất toàn phần",
      "chuong": "Lớp 12 · Xác suất có điều kiện",
      "lop": 12,
      "loai": "khai-niem",
      "dinh_nghia": "Nếu B và biến cố đối B̄ chia hết mọi khả năng thì P(A) = P(B)·P(A | B) + P(B̄)·P(A | B̄): tính xác suất của A bằng cách xét lần lượt từng trường hợp rồi cộng lại.",
      "vi_sao_2026": "Đây là cách ước lượng khi tình huống chia thành nhiều nhánh: tỉ lệ hàng lỗi của nhà máy có nhiều dây chuyền, tỉ lệ xét nghiệm dương tính trong một cộng đồng gồm cả người bệnh và người khỏe.",
      "vi_du": "Bệnh gặp ở 1% dân số; xét nghiệm luôn dương tính với người bệnh và dương tính nhầm 5% với người khỏe. Tỉ lệ người có kết quả dương tính là 0,01·1 + 0,99·0,05 = 0,0595, gần 6%.",
      "cau_hoi": [
        "Vẽ sơ đồ cây cho ví dụ trên: mỗi nhánh ghi xác suất gì?",
        "Nếu xét nghiệm chỉ dương tính nhầm 1% thì tỉ lệ dương tính chung thay đổi thế nào?"
      ],
      "nguon": [
        {"ten": "SGK Toán 12 (Kết nối tri thức), tập 2, Bài 19: Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes", "ghi_chu": "Công thức P(A) = P(B).P(A|B) + P(B̄).P(A|B̄) theo trang Từ điển Toán 12 trên loigiaihay.com. Tên bài theo loigiaihay.com và hoatieu.vn (Chương VI: Xác suất có điều kiện), xem qua kết quả tìm kiếm 14/10/2026; chưa mở sách giấy."},
        {"ten": "LibreTexts, MAT 1320 Finite Mathematics 2e (Community College of Denver, CC BY 4.0), mục 8.5: Bayes' Theorem", "url": "https://math.libretexts.org/Courses/Community_College_of_Denver/MAT_1320_Finite_Mathematics_2e/08%3A_Probability/8.05%3A_Bayes'_Formula", "doc": "2026-10-14", "ghi_chu": "Ví dụ 1 (bệnh 1%, dương tính nhầm 5%): mẫu số cộng hai nhánh dương tính."}
      ],
      "x": 0.55,
      "y": 0.96
    },
    {
      "id": "cong-thuc-bayes",
      "ten": "Công thức Bayes",
      "chuong": "Lớp 12 · Xác suất có điều kiện",
      "lop": 12,
      "loai": "khai-niem",
      "dinh_nghia": "Công thức đảo chiều xác suất có điều kiện: P(B | A) = P(B)·P(A | B) / P(A), với P(A) tính bằng công thức xác suất toàn phần; nó cho biết nên tin một giả thuyết tới đâu sau khi thấy bằng chứng.",
      "vi_sao_2026": "Một xét nghiệm \"chính xác\" vẫn có thể cho phần lớn kết quả dương tính là nhầm nếu bệnh hiếm; hiểu Bayes giúp đọc đúng tin y tế, tin \"AI phát hiện\" và các cảnh báo gian lận.",
      "vi_du": "Tiếp ví dụ xét nghiệm (bệnh 1%, dương tính nhầm 5%): P(bệnh | dương tính) = 0,01·1 / 0,0595 ≈ 0,168. Chỉ khoảng 17% người có kết quả dương tính thật sự mắc bệnh.",
      "cau_hoi": [
        "Vì sao bệnh càng hiếm thì trong số người dương tính, tỉ lệ dương tính nhầm càng cao?",
        "Làm thêm một xét nghiệm độc lập và lại dương tính: xác suất mắc bệnh tăng lên khoảng bao nhiêu?"
      ],
      "nguon": [
        {"ten": "SGK Toán 12 (Kết nối tri thức), tập 2, Bài 19: Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes", "ghi_chu": "Tên bài theo loigiaihay.com và hoatieu.vn (Chương VI: Xác suất có điều kiện), xem qua kết quả tìm kiếm 14/10/2026; chưa mở sách giấy."},
        {"ten": "LibreTexts, MAT 1320 Finite Mathematics 2e (Community College of Denver, CC BY 4.0), mục 8.5: Bayes' Theorem", "url": "https://math.libretexts.org/Courses/Community_College_of_Denver/MAT_1320_Finite_Mathematics_2e/08%3A_Probability/8.05%3A_Bayes'_Formula", "doc": "2026-10-14", "ghi_chu": "Ví dụ 1 ra 16,8% người dương tính thật sự mắc bệnh."}
      ],
      "x": 0.72,
      "y": 0.82
    },
    {
      "id": "loc-thu-rac-bayes",
      "ten": "Lọc thư rác bằng Bayes",
      "chuong": "Ứng dụng 2026 · AI và xác suất",
      "loai": "ung-dung",
      "dinh_nghia": "Bộ lọc tính xác suất một thư là thư rác khi biết các từ trong thư, bằng cách kết hợp theo công thức Bayes xác suất \"thuộc thư rác\" của từng từ đã đếm được từ thư cũ.",
      "vi_sao_2026": "Đây là ví dụ học máy dễ hiểu nhất: máy không \"hiểu\" thư, chỉ đếm từ trong thư cũ rồi cập nhật xác suất. Paul Graham (2002) kể bộ lọc kiểu này bỏ sót chưa tới 5 trên 1.000 thư rác trong hộp thư của ông, không chặn nhầm thư nào.",
      "vi_du": "Giả sử 50% thư là rác; từ \"trúng thưởng\" có trong 20% thư rác và 1% thư thường. Thư có từ này là rác với xác suất 0,5·0,2 / (0,5·0,2 + 0,5·0,01) = 0,1 / 0,105 ≈ 0,95.",
      "cau_hoi": [
        "Vì sao bộ lọc phải học lại khi kẻ gửi rác đổi cách viết (ví dụ \"tr.ú.n.g th.ưở.ng\")?",
        "Chặn nhầm thư thật và bỏ sót thư rác: lỗi nào tệ hơn, và nên đặt ngưỡng xác suất thế nào?"
      ],
      "nguon": [
        {"ten": "Paul Graham, \"A Plan for Spam\" (tháng 8/2002)", "url": "https://paulgraham.com/spam.html", "doc": "2026-10-14"}
      ],
      "x": 0.92,
      "y": 0.94
    },
    {
      "id": "mo-hinh-ngon-ngu",
      "ten": "Mô hình ngôn ngữ đoán chữ tiếp theo",
      "chuong": "Ứng dụng 2026 · AI và xác suất",
      "loai": "ung-dung",
      "dinh_nghia": "Mô hình ngôn ngữ ước lượng xác suất có điều kiện của chữ (token) tiếp theo khi biết các chữ đứng trước; viết một câu trả lời là chọn lần lượt từng chữ theo các xác suất đó.",
      "vi_sao_2026": "Các trợ lý AI năm 2026 đều xây trên mô hình ngôn ngữ lớn. Biết chúng chọn chữ theo xác suất giải thích vì sao cùng một câu hỏi có thể ra câu trả lời khác nhau, và vì sao chúng có thể viết trôi chảy một điều sai.",
      "vi_du": "Google lấy ví dụ câu \"When I hear rain on my roof, I _____ in my kitchen\": mô hình có thể gán 9,4% cho \"cook soup\", 5,2% cho \"warm up a kettle\", 3,6% cho \"cower\"… rồi chọn một phương án theo các xác suất đó.",
      "cau_hoi": [
        "Nếu lúc nào mô hình cũng chọn chữ có xác suất cao nhất thì câu trả lời sẽ ra sao?",
        "Mô hình học các xác suất này từ đâu, và vì sao dữ liệu học bị lệch thì câu trả lời cũng lệch?"
      ],
      "nguon": [
        {"ten": "Google, Machine Learning Crash Course: Introduction to Large Language Models", "url": "https://developers.google.com/machine-learning/crash-course/llm", "doc": "2026-10-14"}
      ],
      "x": 0.6,
      "y": 0.66
    }
  ],
  "edges": [
    {"tu": "gioi-han", "toi": "dao-ham", "loai": "can-truoc", "giai_thich": "Đạo hàm được định nghĩa là giới hạn của [f(x₀ + h) − f(x₀)] / h khi h → 0, nên chưa hiểu giới hạn thì chưa hiểu được đạo hàm."},
    {"tu": "gioi-han", "toi": "tiem-can", "loai": "can-truoc", "giai_thich": "Tiệm cận đứng tìm bằng giới hạn một phía tại điểm hàm không xác định, tiệm cận ngang bằng giới hạn khi x → ±∞."},
    {"tu": "dao-ham", "toi": "tiep-tuyen", "loai": "dan-toi", "giai_thich": "Hệ số góc của tiếp tuyến chính là f'(x₀), nên có đạo hàm là viết được y = f'(x₀)(x − x₀) + f(x₀)."},
    {"tu": "dao-ham", "toi": "quy-tac-dao-ham", "loai": "dan-toi", "giai_thich": "Lấy giới hạn mỗi lần rất chậm; chứng minh một lần từ định nghĩa sẽ ra các quy tắc như (xⁿ)' = n·xⁿ⁻¹ để dùng mãi."},
    {"tu": "quy-tac-dao-ham", "toi": "dao-ham-ham-hop", "loai": "dan-toi", "giai_thich": "Các quy tắc tổng, tích, thương chưa xử lý được hàm lồng nhau như (3x + 1)⁵; quy tắc chuỗi bổ sung y' = f'(u)·g'(x)."},
    {"tu": "dao-ham", "toi": "dao-ham-cap-hai", "loai": "dan-toi", "giai_thich": "Đạo hàm cấp hai là lấy đạo hàm thêm một lần nữa của chính f': f'' = (f')'."},
    {"tu": "dao-ham", "toi": "toc-do-thay-doi", "loai": "dan-toi", "giai_thich": "Đạo hàm đo mức thay đổi tại một điểm; khi biến là thời gian, Q'(t) chính là tốc độ thay đổi tức thời của Q."},
    {"tu": "quy-tac-dao-ham", "toi": "don-dieu", "loai": "can-truoc", "giai_thich": "Muốn xét dấu f' để biết hàm đồng biến hay nghịch biến, trước hết phải tính được f', như (x³ − 3x)' = 3x² − 3."},
    {"tu": "don-dieu", "toi": "cuc-tri", "loai": "dan-toi", "giai_thich": "Cực trị là nơi f' đổi dấu, tức hàm chuyển từ đồng biến sang nghịch biến (cực đại) hoặc ngược lại (cực tiểu)."},
    {"tu": "dao-ham-cap-hai", "toi": "cuc-tri", "loai": "dan-toi", "giai_thich": "Dấu của f'' tại điểm có f' = 0 cho biết đó là cực đại (f'' < 0) hay cực tiểu (f'' > 0)."},
    {"tu": "cuc-tri", "toi": "gtln-gtnn", "loai": "dan-toi", "giai_thich": "Trên [a; b], giá trị lớn nhất và nhỏ nhất nằm ở đầu mút hoặc ở điểm cực trị, nên tìm các điểm f' = 0 rồi so sánh giá trị."},
    {"tu": "don-dieu", "toi": "khao-sat-do-thi", "loai": "can-truoc", "giai_thich": "Bảng biến thiên ghi các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm, nên phải xét dấu f' trước khi vẽ đồ thị."},
    {"tu": "cuc-tri", "toi": "khao-sat-do-thi", "loai": "can-truoc", "giai_thich": "Tọa độ cực đại, cực tiểu như (−1; 2) và (1; −2) là các điểm mốc ghi vào bảng biến thiên để vẽ đúng đỉnh và đáy của đồ thị."},
    {"tu": "tiem-can", "toi": "khao-sat-do-thi", "loai": "can-truoc", "giai_thich": "Tiệm cận cho biết đồ thị tiến sát đường nào khi x ra vô cực hoặc gần điểm gián đoạn, để vẽ đúng hai đầu và các nhánh của đồ thị."},
    {"tu": "gtln-gtnn", "toi": "toi-uu", "loai": "dan-toi", "giai_thich": "Sau khi lập hàm một biến như S = x(40 − 2x), bài toán tối ưu chính là tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của hàm đó trên miền hợp lý."},
    {"tu": "dao-ham-ham-hop", "toi": "lan-truyen-nguoc", "loai": "dan-toi", "giai_thich": "Lan truyền ngược là quy tắc chuỗi áp dụng lặp lại qua từng lớp của mạng nơ-ron."},
    {"tu": "lan-truyen-nguoc", "toi": "gradient-descent", "loai": "dan-toi", "giai_thich": "Lan truyền ngược tính ra đạo hàm; hạ gradient dùng đạo hàm đó để chỉnh tham số."},
    {"tu": "toi-uu", "toi": "gradient-descent", "loai": "dan-toi", "giai_thich": "Khi hàm có quá nhiều biến để giải f' = 0 bằng tay, máy tìm cực tiểu bằng cách đi từng bước xuống dốc."},
    {"tu": "dao-ham", "toi": "ly:van-toc-tuc-thoi", "loai": "lien-mon", "giai_thich": "Vận tốc tức thời là đạo hàm của tọa độ theo thời gian: v(t) = x'(t)."},
    {"tu": "dao-ham-cap-hai", "toi": "ly:gia-toc-tuc-thoi", "loai": "lien-mon", "giai_thich": "Gia tốc là đạo hàm của vận tốc, tức đạo hàm cấp hai của tọa độ: a(t) = v'(t) = x''(t)."},
    {"tu": "toc-do-thay-doi", "toi": "hoa:toc-do-phan-ung-tuc-thoi", "loai": "lien-mon", "giai_thich": "Tốc độ phản ứng tức thời là tốc độ thay đổi nồng độ theo thời gian, đọc bằng hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị nồng độ – thời gian."},
    {"tu": "toc-do-thay-doi", "toi": "ly:suat-dien-dong-cam-ung", "loai": "lien-mon", "giai_thich": "Suất điện động cảm ứng bằng trừ tốc độ biến thiên của từ thông: e = −Φ'(t)."},
    {"tu": "quy-tac-dao-ham", "toi": "nguyen-ham", "loai": "can-truoc", "giai_thich": "Bảng nguyên hàm là bảng đạo hàm đọc ngược: (x³)' = 3x² nên ∫3x² dx = x³ + C."},
    {"tu": "nguyen-ham", "toi": "tich-phan", "loai": "dan-toi", "giai_thich": "Tích phân tính bằng hiệu F(b) − F(a), nên phải tìm được một nguyên hàm F của f trước."},
    {"tu": "tich-phan", "toi": "dien-tich-hinh-phang", "loai": "dan-toi", "giai_thich": "Diện tích giữa hai đồ thị là tích phân của |f(x) − g(x)|; ví dụ giữa y = x và y = x² trên [0; 1] là 1/2 − 1/3 = 1/6."},
    {"tu": "tich-phan", "toi": "the-tich-khoi-tron-xoay", "loai": "dan-toi", "giai_thich": "Thể tích khối tròn xoay cộng dồn các lát tròn mỏng diện tích π·[f(x)]², tức là tích phân V = π·∫[f(x)]² dx."},
    {"tu": "tich-phan", "toi": "ly:do-dich-chuyen", "loai": "lien-mon", "giai_thich": "Độ dịch chuyển là tích phân của vận tốc theo thời gian, bằng diện tích có dấu dưới đồ thị v – t."},
    {"tu": "dao-ham-ham-hop", "toi": "ly:dinh-luat-phong-xa", "loai": "lien-mon", "giai_thich": "Theo quy tắc chuỗi (e^(−λt))' = −λ·e^(−λt), nên N(t) = N₀·e^(−λt) cho dN/dt = −λN: tốc độ phân rã tỉ lệ với số hạt còn lại."},
    {"tu": "xac-suat-co-dieu-kien", "toi": "xac-suat-toan-phan", "loai": "dan-toi", "giai_thich": "Công thức toàn phần chia P(A) theo từng trường hợp B, mỗi phần là P(B)·P(A | B): xác suất có điều kiện nhân với xác suất trường hợp."},
    {"tu": "xac-suat-co-dieu-kien", "toi": "cong-thuc-bayes", "loai": "dan-toi", "giai_thich": "Bayes đảo chiều xác suất có điều kiện: từ P(A | B) suy ra P(B | A) = P(B)·P(A | B) / P(A)."},
    {"tu": "xac-suat-toan-phan", "toi": "cong-thuc-bayes", "loai": "can-truoc", "giai_thich": "Mẫu số P(A) của công thức Bayes tính bằng công thức xác suất toàn phần."},
    {"tu": "cong-thuc-bayes", "toi": "loc-thu-rac-bayes", "loai": "dan-toi", "giai_thich": "Bộ lọc dùng công thức Bayes để tính P(rác | các từ trong thư) từ P(từ | rác) đã đếm được."},
    {"tu": "xac-suat-co-dieu-kien", "toi": "mo-hinh-ngon-ngu", "loai": "dan-toi", "giai_thich": "Mô hình ngôn ngữ học P(chữ tiếp theo | các chữ đứng trước): đúng định nghĩa xác suất có điều kiện."},
    {"tu": "gradient-descent", "toi": "mo-hinh-ngon-ngu", "loai": "dan-toi", "giai_thich": "Các xác suất của mô hình ngôn ngữ lớn được học bằng hạ gradient trên rất nhiều văn bản."}
  ]
}